Apolonska brtva je vrsta fraktalne slike koja se formira iz zbirke sve manje skupljenih krugova sadržanih u jednom velikom krugu. Svaki krug u Apolonijskoj brtvi tangentan je na susjedne kružnice - drugim riječima, kružnice u Apolonijskoj brtvi dodiruju se u beskonačno malim točkama. Nazvana po grčkom matematičaru Apoloniju iz Perge, ova vrsta fraktala može se nacrtati (ručno ili računalom) do razumnog stupnja složenosti, tvoreći lijepu, upečatljivu sliku. Za početak pogledajte donji korak 1.
Koraci
1. dio od 2: Razumijevanje ključnih koncepata
Da budemo potpuno jasni, ako ste jednostavno zainteresirani za crtanje apolonske brtve, nije bitno istraživati matematička načela koja stoje iza fraktala. Međutim, ako želite dublje razumijevanje Apolonovih brtvi, važno je razumjeti definicije nekoliko koncepata koje ćemo koristiti kada ih raspravljamo.
Korak 1. Definirajte ključne pojmove
U donjim uputama koriste se sljedeći izrazi:
- Apolonska brtva: Jedan od nekoliko naziva za tip fraktala koji se sastoji od niza krugova ugniježđenih unutar jednog velikog kruga i tangentnih na sve ostale u blizini. Oni se također nazivaju "Soddy Circles" ili "Kissing Circles".
- Polumjer kruga: udaljenost od središta kruga do njegova ruba. Obično se dodjeljuje varijabla r.
- Zakrivljenost kruga: Pozitivna ili negativna inverzija polumjera, ili ± 1/r. Zakrivljenost je pozitivna kada se radi o vanjskoj zakrivljenosti kruga, a negativna za unutarnju.
- Tangenta: Izraz koji se primjenjuje na linije, ravnine i oblike koji se sijeku u jednoj beskonačno maloj točki. U Apolonovim brtvama to se odnosi na činjenicu da svaki krug dodiruje svaki obližnji krug samo u jednoj točki. Imajte na umu da nema presjeka - tangentni oblici se ne preklapaju.
Korak 2. Shvatite Descartesov teorem
Descartesov teorem je formula koja je korisna za izračunavanje veličina krugova u apolonijskoj brtvi. Ako zakrivljenosti (1/r) bilo koje tri kružnice definiramo kao a, b i c, Teorem kaže da je zakrivljenost kruga (ili krugova) tangentna na sve tri, koju ćemo definirati kao d,: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
U naše svrhe općenito ćemo koristiti samo odgovor koji dobijemo stavljanjem znaka plus ispred kvadratnog korijena (drugim riječima, … + 2 (sqrt (…)). Za sada je dovoljno znati da oduzimanje oblik jednadžbe ima svoju primjenu u drugim srodnim zadacima
Dio 2 od 2: Konstrukcija Apolonske brtve
Apolonijske brtve imaju oblik prekrasnih fraktalnih aranžmana koji se smanjuju. Matematički, Apolonove brtve imaju beskrajnu složenost, no, bez obzira koristite li računalni program za crtanje ili tradicionalne alate za crtanje, na kraju ćete doći do točke u kojoj je nemoguće nacrtati manje krugove. Imajte na umu da što preciznije nacrtate svoje krugove, to ćete više moći smjestiti u svoju brtvu.
Korak 1. Skupite svoje digitalne ili analogne alate za crtanje
U koracima u nastavku napravit ćemo vlastitu jednostavnu Apolonovu brtvu. Apollonske brtve moguće je nacrtati ručno ili na računalu. U svakom slučaju, htjet ćete moći nacrtati savršeno okrugle krugove. Ovo je prilično važno. Budući da je svaki krug u Apolonijskoj brtvi savršeno tangentan na krugove pored njega, krugovi koji su čak i malo deformirani mogu "odbaciti" vaš konačni proizvod.
- Ako crtate brtvu na računalu, trebat će vam program koji vam omogućuje jednostavno crtanje krugova fiksnog radijusa iz središnje točke. Gfig, proširenje za vektorsko crtanje za besplatni program za uređivanje slika GIMP, može se koristiti, kao i niz drugih programa za crtanje (relevantne veze potražite u odjeljku materijala). Vjerojatno će vam trebati i aplikacija za kalkulator te dokument za obradu teksta ili fizička bilježnica za bilježenje zakrivljenosti i radijusa.
- Za ručno crtanje brtve trebat će vam kalkulator (predložen znanstveni ili grafički prikaz), olovka, kompas, ravnalo (po mogućnosti ljestvica s milimetarskim oznakama, grafofolija i bilježnica za bilješke).
Korak 2. Počnite s jednim velikim krugom
Vaš prvi zadatak je lak - samo nacrtajte jedan veliki, savršeno okrugli krug. Što je krug veći, to vaša brtva može biti složenija, pa pokušajte napraviti krug onoliko velik koliko vam papir dopušta ili velik koliko lako možete vidjeti u jednom prozoru programa za crtanje.
Korak 3. Napravite manji krug unutar originala, tangentan na jednu stranu
Zatim nacrtajte još jedan krug unutar prvog koji je manji od izvornika, ali još uvijek prilično velik. Točna veličina drugog kruga ovisi o vama - nema ispravne veličine. Međutim, za naše potrebe nacrtajmo naš drugi krug tako da dosegne točno na pola našeg velikog vanjskog kruga. Drugim riječima, nacrtajmo naš drugi krug tako da njegova središnja točka bude sredina polumjera velikog kruga.
Upamtite da su u Apolonovim brtvama svi krugovi koji se dodiruju tangentni jedan prema drugom. Ako koristite kompas za crtanje krugova ručno, ponovno stvorite ovaj efekt stavljanjem oštre točke kompasa na sredinu radijusa velikog vanjskog kruga, namještajući olovku tako da samo dodiruje rub velikog kruga, zatim nacrtajući svoj manji unutarnji krug
Korak 4. Nacrtajte identičan krug "preko puta" manjeg unutarnjeg kruga
Zatim nacrtajmo još jedan krug preko puta našeg prvog. Ovaj krug trebao bi biti tangentan i na veliki vanjski krug i na manji unutarnji krug, što znači da će se vaša dva unutarnja kruga dodirivati na točnoj sredini velikog vanjskog kruga.
Korak 5. Primijenite Descartesov teorem da biste pronašli veličinu sljedećih krugova
Prestanimo na trenutak crtati. Sada kada imamo tri kružnice u našem Brtvi, možemo koristiti Descartesovu teoremu da pronađemo polumjer sljedeće kružnice koju ćemo nacrtati. Sjetite se da je Descartesov teorem d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), gdje su a, b i c zakrivljenosti vaša tri tangentna kruga, a d zakrivljenost kruga tangentnog na sva tri. Dakle, da bismo pronašli polumjer našeg sljedećeg kruga, pronađimo zakrivljenost svakog od krugova koje smo dosad imali tako da možemo pronaći zakrivljenost sljedećeg kruga, a zatim to pretvoriti u njegov polumjer.
-
Definirajmo polumjer našeg vanjskog kruga kao
Korak 1.. Budući da su drugi krugovi unutar ove, bavimo se njezinom unutarnjom zakrivljenošću (a ne vanjskom zakrivljenošću), pa posljedično znamo da je njezina zakrivljenost negativna. -1/r = -1/1 = -1. Zakrivljenost velikog kruga je - 1.
-
Polumjeri manjih krugova upola su veći od velikog kruga ili, drugim riječima, 1/2. Budući da se ti krugovi dodiruju, a veliki krug vanjskim rubom, bavimo se njihovom vanjskom zakrivljenošću, pa su njihove zakrivljenosti pozitivne. 1/(1/2) = 2. Zakrivljenosti manjih krugova su obje
Korak 2..
-
Sada znamo da je a = -1, b = 2 i c = 2 za našu Descartesovu teoremsku jednadžbu. Riješimo za d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Zakrivljenost našeg sljedećeg kruga je
Korak 3.. Budući da je 3 = 1/r, polumjer našeg sljedećeg kruga je 1/3.
Korak 6. Izradite svoj sljedeći skup krugova
Za iscrtavanje sljedeća dva kruga upotrijebite vrijednost radijusa koju ste upravo pronašli. Upamtite da će one biti tangente na krugove čije ste zakrivljenosti koristili za a, b i c u Descartesovoj teoremi. Drugim riječima, bit će tangentni i na izvorni i na drugi krug. Da bi ti krugovi bili tangentni na sva tri kruga, morat ćete ih nacrtati na otvorenim prostorima na vrhu i dnu područja unutar vašeg velikog izvornog kruga.
Zapamtite da će polumjeri ovih krugova biti jednaki 1/3. Odmjerite 1/3 natrag od ruba vanjskog kruga, a zatim nacrtajte svoj novi krug. Trebao bi biti tangentan na sva tri okolna kruga
Korak 7. Nastavite na ovaj način da biste nastavili dodavati krugove
Budući da su fraktali, Apolonove brtve su beskonačno složene. To znači da možete dodavati sve manje krugove do mile volje. Ograničeni ste samo preciznošću svojih alata (ili, ako koristite računalo, sposobnošću programa za crtanje da "zumira"). Svaki krug, koliko god bio mali, trebao bi biti tangentan na tri druga kruga. Da biste nacrtali svaki sljedeći krug u svom Brtvi, uključite zakrivljenosti triju krugova na koje će biti dodirljiva u Descartesov teorem. Zatim upotrijebite svoj odgovor (koji će biti polumjer vašeg novog kruga) da biste točno nacrtali svoj novi krug.
- Imajte na umu da je brtva koju smo odabrali nacrtati simetrična, pa je radijus jedne kružnice isti kao i odgovarajuća kružnica "preko puta nje". No, znajte da nije svaka Apolonova brtva simetrična.
-
Uzmimo još jedan primjer. Recimo da, nakon što smo nacrtali naš posljednji skup krugova, sada želimo nacrtati krugove koji su tangentni na naš treći skup, naš drugi skup i naš veliki vanjski krug. Zakrivljenosti ovih krugova su 3, 2 i -1. Uključimo ove brojeve u Descartesov teorem, postavljajući a = -1, b = 2 i c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Imamo dva odgovora! Međutim, budući da znamo da će naš novi krug biti manji od bilo kojeg kruga na koji je tangentiran, samo će zakrivljenost
Korak 6. (pa prema tome i radijus od 1/6) ima smisla.
- Naš drugi odgovor, 2, zapravo se odnosi na hipotetičku kružnicu s druge strane dodirne točke našeg drugog i trećeg kruga. Ovaj krug je tangente na oba ova kruga i na veliki vanjski krug, ali će presjeći krugove koje smo već nacrtali, pa ga možemo zanemariti.
Korak 8. Za izazov, pokušajte napraviti nesimetričnu Apolonovu brtvu promjenom veličine vašeg drugog kruga
Sve Apolonske brtve započinju isto - s velikim vanjskim krugom koji djeluje kao rub fraktala. Međutim, nema razloga da vaš drugi krug nužno mora imati 1/2 radijusa prvog - upravo smo to odlučili učiniti gore jer je jednostavno i lako razumljivo. Za zabavu, pokušajte pokrenuti novu brtvu s drugim krugom različite veličine - to će dovesti do uzbudljivih novih putova istraživanja.
