Racionalna funkcija je jednadžba koja ima oblik y = N (x)/D (x) gdje su N i D polinomi. Pokušaj da se ručno skicira točan grafikon može biti sveobuhvatan pregled mnogih najvažnijih srednjoškolskih matematičkih tema, od osnovne algebre do diferencijalnog računa. Razmotrimo sljedeći primjer: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Koraci
Korak 1. Pronađite presretanje y
Jednostavno postavite x = 0. Sve osim konstantnih članova nestaje, ostavljajući y = 5/2. Izražavajući to kao koordinatni par, (0, 5/2) je točka na grafikonu. Nacrtajte tu točku.
Korak 2. Pronađite vodoravnu asimptotu
Dugo podijelite nazivnik na brojnik kako biste odredili ponašanje y za velike apsolutne vrijednosti x. U ovom primjeru podjela pokazuje da je y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Za velike pozitivne ili negativne vrijednosti x, 17/(8 x + 4) se približava nuli, a grafikon približava liniju y = (1/2) x - (7/4). Iscrtanom ili lagano nacrtanom linijom iscrtajte ovu liniju.
- Ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, nema podjele, a asimptota je y = 0.
- Ako je deg (N) = deg (D), asimptota je vodoravna crta u omjeru vodećih koeficijenata.
- Ako je deg (N) = deg (D) + 1, asimptota je linija čiji je nagib omjer vodećih koeficijenata.
- Ako je deg (N)> deg (D) + 1, tada za velike vrijednosti | x |, y brzo prelazi u pozitivnu ili negativnu beskonačnost kao kvadratni, kubični ili polinom višeg stupnja. U ovom slučaju vjerojatno se ne isplati točno prikazati kvocijent podjele.
Korak 3. Pronađite nule
Racionalna funkcija ima nulu kada je brojnik nula, pa postavite N (x) = 0. U primjeru 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminator ovog kvadrata je b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Budući da je diskriminator negativan, N (x), a time i f (x), nema stvarnih korijena. Grafikon nikada ne prelazi x -os. Ako su pronađene nule, dodajte te točke u grafikon.
Korak 4. Pronađite okomite asimptote
Okomita asimptota javlja se kad je nazivnik nula. Postavljanje 4 x + 2 = 0 daje okomitu crtu x = -1/2. Nacrtajte svaku okomitu asimptotu svjetlom ili isprekidanom linijom. Ako neka vrijednost x čini N (x) = 0 i D (x) = 0, ondje može postojati ili ne postojati okomita asimptota. To je rijetkost, ali pogledajte savjete kako se nositi s tim ako se pojavi.
Korak 5. Pogledajte ostatak podjele u koraku 2
Kada je pozitivno, negativno ili nula? U primjeru je brojnik ostatka 17 koji je uvijek pozitivan. Nazivnik, 4 x + 2, pozitivan je s desne strane okomite asimptote i negativan s lijeve strane. To znači da se grafikon približava linearnoj asimptoti iz gore navedenog za velike pozitivne vrijednosti x i odozdo za velike negativne vrijednosti x. Budući da 17/(8 x + 4) nikada ne može biti nula, ovaj grafikon nikada ne siječe pravac y = (1/2) x - (7/4). Nemojte trenutno dodavati ništa u grafikon, ali zabilježite ove zaključke za kasnije.
Korak 6. Pronađite lokalne ekstreme
Lokalni ekstrem se može pojaviti kad god je N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. U primjeru, N '(x) = 4 x - 6 i D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Proširivanje, kombiniranje pojmova i dijeljenje sa 4 lista x 2 + x - 4 = 0. Kvadratna formula prikazuje korijene blizu x = 3/2 i x = -5/2. (Oni se razlikuju otprilike 0,06 od točnih vrijednosti, ali naš grafikon neće biti dovoljno precizan da brine o toj razini detalja. Odabir pristojne racionalne aproksimacije olakšava sljedeći korak.)
Korak 7. Pronađite y -vrijednosti svakog lokalnog ekstrema
Uključite x -vrijednosti iz prethodnog koraka natrag u izvornu racionalnu funkciju kako biste pronašli odgovarajuće y -vrijednosti. U primjeru, f (3/2) = 1/16 i f (-5/2) = -65/16. Dodajte ove točke, (3/2, 1/16) i (-5/2, -65/16) u grafikon. Budući da smo aproksimirali u prethodnom koraku, to nisu točni minimumi i maksimumi, ali su vjerojatno bliski. (Znamo da je (3/2, 1/16) vrlo blizu lokalnog minimuma. Od koraka 3 znamo da je y uvijek pozitivno kada je x> -1/2 i pronašli smo vrijednost samo 1/16, pa je barem u ovom slučaju pogreška vjerojatno manja od debljine crte.)
Korak 8. Spojite točke i glatko proširite graf od poznatih točaka do asimptota pazeći da im se približite iz ispravnog smjera
Pazite da ne prijeđete x -os, osim na mjestima koja su već pronađena u koraku 3. Nemojte prelaziti vodoravnu ili linearnu asimptotu, osim na točkama koje su već pronađene u koraku 5. Ne mijenjajte se s nagiba prema gore prema nagibu prema dolje, osim na ekstrem koji je pronađen u prethodnom koraku.
Video - Korištenjem ove usluge neki se podaci mogu podijeliti s YouTubeom
Savjeti
- Neki od ovih koraka mogu uključivati rješavanje polinoma visokog stupnja. Ako ne možete pronaći točna rješenja faktorizacijom, formulama ili na neki drugi način, tada procijenite rješenja pomoću numeričkih tehnika poput Newtonove metode.
- Ako slijedite korake redom, obično nije potrebno koristiti druge testove izvedenica ili slične potencijalno komplicirane metode kako biste utvrdili jesu li kritične vrijednosti lokalni maksimumi, lokalni minimumi ili nijedno. Pokušajte prvo upotrijebiti podatke iz prethodnih koraka i malo logike.
- Ako to pokušavate učiniti samo prekalkulusnim metodama, korake oko pronalaženja lokalnih ekstrema možete zamijeniti izračunavanjem nekoliko dodatnih (x, y) uređenih parova između svakog para asimptota. Alternativno, ako vas nije briga zašto to funkcionira, nema razloga zašto student predračuna ne može uzeti derivat polinoma i riješiti N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
U rijetkim slučajevima brojnik i nazivnik mogu imati zajednički nestalni faktor. Ako slijedite korake, to će se prikazati kao nula i okomita asimptota na istom mjestu. To je nemoguće, a ono što se zapravo događa jedno je od sljedećeg:
- Nula u N (x) ima veću mnogostrukost od nule u D (x). Graf f (x) se u ovoj točki približava nuli, ali tamo nije definiran. Označite to otvorenim krugom oko točke.
- Nula u N (x) i nula u D (x) imaju jednaku množinu. Graf se približava ne-nultoj točki za ovu vrijednost x, ali tamo nije definiran. Opet to označite otvorenim krugom.
- Nula u N (x) ima manju množinu od nule u D (x). Ovdje postoji okomita asimptota.
