Parabola je graf kvadratne funkcije i glatka je krivulja u obliku slova "U". Parabole su također simetrične, što znači da se mogu presavijati uzduž linije tako da se sve točke s jedne strane linije savijanja podudaraju s odgovarajućim točkama s druge strane linije savijanja. Linija preklopa, nazvana os simetrije, okomita je linija koja prolazi kroz vereks. Svaka točka na paraboli jednako je udaljena od fiksne točke (fokus) i fiksne ravne linije (directrix). Da biste grafički prikazali parabolu, morate pronaći njezin vrh, kao i nekoliko točaka s obje strane vrha kako biste označili put kojim točke putuju.
Koraci
1. dio 2: Crtanje parabole
Korak 1. Shvatite dijelove parabole
Možda ćete dobiti određene informacije prije početka, a poznavanje terminologije pomoći će vam da izbjegnete nepotrebne korake. Evo dijelova parabole koje morate znati:
- Fokus, žarište. Fiksna točka u unutrašnjosti parabole koja se koristi za formalnu definiciju krivulje.
- Directrix. Fiksna, ravna linija. Parabola je mjesto (niz) točaka u kojima je bilo koja točka jednake udaljenosti od fokusa i izravne matrice. (Pogledajte gornji dijagram.)
- Os simetrije. Ovo je ravna linija koja prolazi kroz zakretnu točku ("vrh") parabole i jednako je udaljena od odgovarajućih točaka na dva kraka parabole.
- Vrh. Točka gdje os simetrije prelazi parabolu naziva se tjeme parabole. Ako se parabola otvori prema gore ili udesno, vrh je minimalna točka krivulje. Ako se otvori prema dolje ili ulijevo, vrh je maksimalna točka.
Korak 2. Upoznajte jednadžbu parabole
Opća jednadžba parabole je y = ax2+ bx + c. Također se može napisati u još općenitijem obliku y = a (x - h) ² + k, ali ovdje ćemo se usredotočiti na prvi oblik jednadžbe.
- Ako je koeficijent a u jednadžbi pozitivan, parabola se otvara prema gore (u okomito orijentiranoj paraboli), poput slova "U", a njezin je vrh minimalna točka. Ako je a negativno, parabola se otvara prema dolje i ima vrh u svojoj najvećoj točki. Ako imate problema s pamćenjem ovoga, zamislite to na ovaj način: jednadžba s pozitivnom vrijednošću izgleda kao osmijeh; jednadžba s negativnom vrijednošću izgleda poput mrštenja.
- Recimo da imate sljedeću jednadžbu: y = 2x2 -1. Ova parabola bit će oblikovana kao "U" jer je vrijednost (2) pozitivna.
- Ako jednadžba ima kvadratni član y umjesto kvadratnog x izraza, parabola će biti vodoravno orijentirana i otvorena bočno, desno ili lijevo, poput "C" ili unatrag "C." Na primjer, parabola y2 = x + 3 otvara se desno, poput "C."
Korak 3. Pronađite os simetrije
Upamtite da je os simetrije ravna linija koja prolazi kroz zakretnu točku (vrh) parabole. U slučaju vertikalne parabole (otvara se gore ili dolje), os je ista kao x koordinata vrha, što je x-vrijednost točke u kojoj os simetrije prelazi parabolu. Da biste pronašli os simetrije, upotrijebite ovu formulu: x = -b/2a.
- U gornjem primjeru (y = 2x² -1), a = 2 i b = 0. Sada možete izračunati os simetrije uključivanjem brojeva: x = -0 / (2) (2) = 0.
- U ovom slučaju os simetrije je x = 0 (što je os y koordinatne ravnine).
Korak 4. Pronađite vrh
Nakon što spoznate os simetrije, možete uključiti tu vrijednost za x da biste dobili koordinatu y. Ove dvije koordinate dat će vam vrh parabole. U tom slučaju priključite 0 na 2x2 -1 za dobivanje y koordinate. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Vrh je (0, -1), a parabola prelazi y -os na -1.
Koordinate vrha ponekad su poznate i kao (h, k). U ovom slučaju h je 0, a k je -1. Jednadžba za parabolu može se napisati u obliku y = a (x - h) ² + k. U ovom obliku vrh je točka (h, k) i ne morate ništa matematički pronaći da biste pronašli vrh osim ispravnog tumačenja grafa
Korak 5. Postavite tablicu s odabranim vrijednostima x
Napravite tablicu s posebnim vrijednostima x u prvom stupcu. Ova tablica će vam dati koordinate potrebne za iscrtavanje jednadžbe.
- Srednja vrijednost x trebala bi biti os simetrije u slučaju "okomite" parabole.
- Radi simetrije trebate unijeti najmanje dvije vrijednosti iznad i ispod srednje vrijednosti za x u tablicu.
- U ovom primjeru stavite vrijednost osi simetrije (x = 0) u sredinu tablice.
Korak 6. Izračunajte vrijednosti odgovarajućih y-koordinata
Zamijenite svaku vrijednost x u jednadžbi parabole i izračunajte odgovarajuće vrijednosti y. Umetnite ove izračunate vrijednosti y u tablicu. U ovom primjeru vrijednosti y izračunavaju se na sljedeći način:
- Za x = -2, y se računa kao: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Za x = -1, y se računa kao: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Za x = 0, y se računa kao: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Za x = 1, y se računa kao: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Za x = 2, y se računa kao: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Korak 7. U tablicu umetnite izračunate vrijednosti y
Sada kada ste pronašli najmanje pet koordinatnih parova za parabolu, gotovo ste spremni za grafički prikaz. Na temelju vašeg rada sada imate sljedeće točke: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Zapamtite da se parabola reflektira (simetrično) u odnosu na os simetrije. To znači da će y koordinate točaka izravno na osi simetrije jednake biti iste. Y-koordinate za x-koordinate -2 i +2 su obje 7; y-koordinate za x-koordinate -1 i +1 su 1 i tako dalje.
Korak 8. Iscrtajte točke tablice na koordinatnoj ravnini
Svaki red tablice tvori koordinatni par (x, y) na koordinatnoj ravnini. Nacrtajte sve točke pomoću koordinata navedenih u tablici.
- Os x je vodoravna; os y je okomita.
- Pozitivni brojevi na osi y su iznad točke (0, 0), a negativni brojevi na osi y su ispod točke (0, 0).
- Pozitivni brojevi na osi x nalaze se desno od točke (0, 0), a negativni brojevi na osi x lijevo od točke (0, 0).
Korak 9. Spojite točke
Za iscrtavanje parabole spojite točke iscrtane u prethodnom koraku. Grafikon u ovom primjeru izgledat će kao U. Spojite točke pomoću blago zakrivljenih (a ne ravnih) linija. Time će se stvoriti najtočnija slika parabole (koja je barem blago zakrivljena po cijeloj duljini). Na oba kraja parabole možete nacrtati strelice usmjerene od vrha ako želite. To će ukazivati na to da se parabola nastavlja beskonačno dugo.
Dio 2 od 2: Pomicanje grafa parabole
Ako želite prečac za pomicanje parabole, a da ne morate ponovno pronaći njezin vrh i ponovno iscrtati nekoliko točaka na njoj, morat ćete razumjeti kako čitati jednadžbu parabole i naučiti je pomicati okomito ili vodoravno. Počnite s osnovnom parabolom: y = x2. Ovo ima vrh u (0, 0) i otvara se prema gore. Bodovi na njemu uključuju (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) i (2, 4). Parabolu možete pomaknuti na temelju njezine jednadžbe.
Korak 1. Pomaknite parabolu prema gore
Razmotrimo jednadžbu y = x2 +1. Time se izvorna parabola pomiče za 1 jedinicu prema gore. Vrh je sada (0, 1) umjesto (0, 0). Zadržat će točan oblik izvorne parabole, ali će se svaka y-koordinata pomaknuti prema gore za 1 jedinicu. Dakle, umjesto (-1, 1) i (1, 1), iscrtavamo (-1, 2) i (1, 2).
Korak 2. Pomaknite parabolu prema dolje
Uzmi jednadžbu y = x2 -1. Pomjeramo izvornu parabolu prema dolje za 1 jedinicu, tako da je vrh sada (0, -1) umjesto (0, 0). I dalje će imati isti oblik izvorne parabole, ali će svaka y-koordinata biti pomaknuta prema dolje za 1 jedinicu. Dakle, umjesto (-1, 1) i (1, 1), na primjer, iscrtavamo (-1, 0) i (1, 0).
Korak 3. Pomaknite parabolu ulijevo
Razmotrimo jednadžbu y = (x + 1)2. Time se izvorna parabola pomiče za jednu jedinicu ulijevo. Vrh je sada (-1, 0) umjesto (0, 0). Zadržava oblik izvorne parabole, ali se svaka x-koordinata pomiče ulijevo za jednu jedinicu. Umjesto (-1, 1) i (1, 1), na primjer, iscrtavamo (-2, 1) i (0, 1).
Korak 4. Pomaknite parabolu udesno
Razmotrimo jednadžbu y = (x - 1)2. Ovo je izvorna parabola pomaknuta za jednu jedinicu udesno. Vrh je sada (1, 0) umjesto (0, 0). Zadržava oblik izvorne parabole, ali će svaka x-koordinata biti pomaknuta udesno za jednu jedinicu. Umjesto (-1, 1) i (1, 1), na primjer, iscrtavamo (0, 1) i (2, 1).
