Kako iscrtati kvadratnu jednadžbu: 10 koraka (sa slikama)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-02-02 02:07

Kad se iscrtaju, kvadratne jednadžbe oblika sjekira² + bx + c ili a (x - h)² + k daju glatku krivulju u obliku slova U ili obrnutu krivulju u obliku slova U koja se naziva parabola. Grafikovanje kvadratne jednadžbe stvar je u pronalaženju njezina vrha, smjera i, često, presjeka x i y. U slučajevima relativno jednostavnih kvadratnih jednadžbi, također bi moglo biti dovoljno uključiti raspon vrijednosti x i iscrtati krivulju na temelju dobivenih točaka. Za početak pogledajte donji korak 1.

Koraci

Korak 1. Odredite koji oblik kvadratne jednadžbe imate

Kvadratna jednadžba može se napisati u tri različita oblika: standardni oblik, oblik tjemena i kvadratni oblik. Možete koristiti bilo koji oblik za iscrtavanje kvadratne jednadžbe; postupak za grafički prikaz svakog je nešto drugačiji. Ako radite problem domaće zadaće, obično ćete problem primiti u jednom od ova dva oblika - drugim riječima, nećete moći birati, pa je najbolje razumjeti oboje. Dva oblika kvadratne jednadžbe su:

• Standardna forma.

  U ovom obliku kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = ax² + bx + c gdje su a, b i c realni brojevi i a nije jednako nuli.

  Na primjer, dvije kvadratne jednadžbe standardnog oblika su f (x) = x² + 2x + 1 i f (x) = 9x² + 10x -8.

• Oblik vrhova.

  U ovom obliku, kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = a (x - h)² + k gdje su a, h i k stvarni brojevi i a nije jednako nuli. Oblik vrhova tako je nazvan jer vam h i k izravno daju vrh (središnju točku) vaše parabole u točki (h, k).

  Dvije jednadžbe oblika vrha su f (x) = 9 (x - 4)² + 18 i -3 (x - 5)² + 1

• Da bismo iscrtali bilo koju od ovih vrsta jednadžbi, prvo moramo pronaći vrh parabole, koja je središnja točka (h, k) na "vrhu" krivulje. Koordinate vrha u standardnom obliku date su sa: h = -b/2a i k = f (h), dok su u obliku vrha h i k navedene u jednadžbi.

Korak 2. Definirajte svoje varijable

Da bi se mogao riješiti kvadratni problem, obično je potrebno definirati varijable a, b i c (ili a, h i k). Prosječni problem algebre dat će vam kvadratnu jednadžbu s ispunjenim varijablama, obično u standardnom obliku, ali ponekad u obliku vrhova.

• Na primjer, za jednadžbu standardnog oblika f (x) = 2x² + 16x + 39, imamo a = 2, b = 16 i c = 39.
• Za jednadžbu oblika tjemena f (x) = 4 (x - 5)² + 12, imamo a = 4, h = 5 i k = 12.

Korak 3. Izračunajte h

U jednadžbama oblika vrhova vaša vrijednost za h već je dana, ali u jednadžbama standardnog oblika mora se izračunati. Upamtite da je za jednadžbe standardnog oblika h = -b/2a.

• U našem primjeru standardnog oblika (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Rješavajući, nalazimo da je h = - 4.
• U našem primjeru oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo h = 5 bez ikakve matematike.

Korak 4. Izračunajte k

Kao i kod h, k je već poznato u jednadžbama oblika vrhova. Za jednadžbe standardnog oblika zapamtite da je k = f (h). Drugim riječima, k možete pronaći zamjenom svake instance x u vašoj jednadžbi s vrijednošću koju ste upravo pronašli za h.

• U našem standardnom primjeru utvrdili smo da je h = -4. Da bismo pronašli k, rješavamo našu jednadžbu s vrijednošću za h zamjenjujući x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Korak 7.

• U našem primjeru oblika vrha, opet, znamo vrijednost k (koja je 12) bez ikakvog izračunavanja.

Korak 5. Iscrtajte svoj vrh

Vrh vaše parabole bit će točka (h, k) - h određuje x koordinatu, dok k određuje y koordinatu. Vrh je središnja točka vaše parabole - ili samo dno "U" ili sam vrh naopačke "U." Poznavanje vrha bitan je dio iscrtavanja točne parabole - često će u školskim zadaćama navođenje vrha biti potreban dio pitanja.

• U našem primjeru standardnog oblika, naš će vrh biti na (-4, 7). Dakle, naša parabola će vršiti 4 razmaka lijevo od 0 i 7 razmaka iznad (0, 0). Ovu bismo točku trebali ucrtati u naš grafikon, pazeći da označimo koordinate.
• U našem primjeru oblika vrha, naše je vrhovo na (5, 12). Točku bismo trebali ucrtati 5 razmaka desno i 12 razmaka iznad (0, 0).

Korak 6. Nacrtajte os parabole (izborno)

Osovina simetrije parabole je linija koja prolazi kroz njezinu sredinu koja je savršeno dijeli na pola. Preko ove osi, lijeva strana parabole zrcalit će desnu stranu. Za kvadratnosti oblika ax² + bx + c ili a (x - h)² + k, os je linija paralelna s osi y (drugim riječima, savršeno okomita) i prolazi kroz tjeme.

U slučaju našeg primjera standardnog oblika, os je linija paralelna s osi y i prolazi kroz točku (-4, 7). Iako nije dio same parabole, lagano označavanje ove crte na grafikonu može vam na kraju pomoći da vidite kako se parabola simetrično zakrivljuje

Korak 7. Pronađite smjer otvaranja

Nakon što smo shvatili vrh i os parabole, sljedeće moramo znati otvara li se parabola prema gore ili prema dolje. Srećom, ovo je lako. Ako je "a" pozitivno, parabola će se otvoriti prema gore, dok ako je "a" negativna, parabola će se otvoriti prema dolje (tj. Bit će okrenuta naopako.)

• Za naš primjer standardnog oblika (f (x) = 2x² + 16x + 39), znamo da imamo parabolu koja se otvara prema gore jer je u našoj jednadžbi a = 2 (pozitivno).
• Za naš primjer oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo da imamo i parabolu koja se otvara prema gore jer je a = 4 (pozitivno).

Korak 8. Ako je potrebno, pronađite i iscrtajte x presretnute dijelove

Često će vas u školskim zadacima od vas tražiti da pronađete presjeke x parabole (koje su ili jedna ili dvije točke gdje se parabola susreće s osi x). Čak i ako ih ne želite pronaći, ove dvije točke mogu biti neprocjenjive za crtanje točne parabole. Međutim, nemaju sve parabole presjeke x. Ako vaša parabola ima vrh koji se otvara prema gore i ima vrh iznad osi x ili ako se otvara prema dolje i ima vrh ispod osi x, neće imati presretanja x. U protivnom, riješite svoja presretanja x jednom od sljedećih metoda:

• Jednostavno postavite f (x) = 0 i riješite jednadžbu. Ova metoda može funkcionirati za jednostavne kvadratne jednadžbe, osobito u obliku vrhova, ali će se pokazati izuzetno teškom za one složenije. Za primjer pogledajte dolje

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 su presjeci parabole x.

• Uzmite u obzir jednadžbu. Neke jednadžbe u sjekiri² + bx + c oblik se može lako uvrstiti u oblik (dx + e) (fx + g), gdje je dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, i e × g = c. U ovom slučaju, vaši presretnuti x vrijednosti su za x koje čine bilo koji izraz u zagradama = 0. Na primjer:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • U ovom slučaju, vaše jedino presretanje x je -1 jer će postavljanje x jednako -1 učiniti bilo koji od faktoriziranih pojmova u zagradama jednakim 0.

• Upotrijebite kvadratnu formulu. Ako ne možete lako riješiti svoja presretanja x ili faktorirati svoju jednadžbu, upotrijebite posebnu jednadžbu koja se naziva kvadratna formula izrađena upravo za tu svrhu. Ako već nije, unesite svoju jednadžbu u obrazac ax² + bx + c, zatim uključite a, b i c u formulu x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Imajte na umu da vam ovo često daje dva odgovora za x, što je u redu - to samo znači da vaša parabola ima dva x presretanja. Primjer pogledajte u nastavku:

  • -5x² + 1x + 10 uključuje se u kvadratnu formulu na sljedeći način:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) i (-15,18/-10). Presjeci parabole x nalaze se na približno x = - 1.318 i 1.518
  • Naš prethodni primjer standardnog obrasca, 2x² + 16x + 39 uključuje se u kvadratnu formulu na sljedeći način:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10)
  • Budući da je nemoguće pronaći kvadratni korijen negativnog broja, to znamo nema x presretanja postoje za ovu konkretnu parabolu.

Korak 9. Ako je potrebno, pronađite i iscrtajte presjek y

Premda često nije potrebno pronaći presjek y jednadžbe (točku u kojoj parabola prolazi kroz os y), od vas će se na kraju morati zatražiti, osobito ako ste u školi. Ovaj je postupak prilično jednostavan - samo postavite x = 0, a zatim riješite svoju jednadžbu za f (x) ili y, što vam daje vrijednost y pri kojoj vaša parabola prolazi kroz os y. Za razliku od presretanja x, standardne parabole mogu imati samo jedno presretanje y. Napomena - za jednadžbe standardnog oblika, presjek y je na y = c.

• Na primjer, poznajemo našu kvadratnu jednadžbu 2x² + 16x + 39 ima presjek y u y = 39, ali se također može pronaći na sljedeći način:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Presjek parabole y je na y = 39.

    Kao što je gore napomenuto, presjek y je na y = c.

• Naša jednadžba oblika vrhova 4 (x - 5)² + 12 ima presjek y koji se može pronaći na sljedeći način:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Presjek parabole y je na y = 112.

Korak 10. Ako je potrebno, iscrtajte dodatne točke, a zatim grafikon

Sada biste trebali imati vrh, smjer, presjek (ove) x i, možda, presjek y za vašu jednadžbu. U ovom trenutku možete pokušati nacrtati svoju parabolu koristeći točke koje imate kao smjernicu ili možete pronaći više točaka za "popunjavanje" vaše parabole kako bi krivulja koju nacrtate bila točnija. Najjednostavniji način za to je jednostavno uključiti nekoliko x vrijednosti s obje strane vašeg vrha, a zatim iscrtati ove točke pomoću dobivenih y vrijednosti. Često će učitelji zahtijevati da steknete određeni broj bodova prije nego što nacrtate svoju parabolu.

• Ponovimo jednadžbu x² + 2x + 1. Već znamo da je njegovo jedino presretanje x na x = -1. Budući da samo u jednom trenutku dodiruje presjek x, možemo zaključiti da mu je vrh vrh presjeka x, što znači da mu je vrh (-1, 0). Za ovu parabolu zapravo imamo samo jedan bod - ni približno dovoljan za crtanje dobre parabole. Pronađimo još nekoliko kako bismo bili sigurni da smo nacrtali točan grafikon.

  • Pronađimo y vrijednosti za sljedeće x vrijednosti: 0, 1, -2 i -3.
  • Za 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Naša je točka (0, 1).

  • Za 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Naša je točka (1, 4).

  • Za -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Naša je točka (-2, 1).

  • Za -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Naša točka je (-3, 4).

  • Iscrtajte ove točke na grafikonu i nacrtajte svoju krivulju u obliku slova U. Imajte na umu da je parabola savršeno simetrična - kada vaše točke s jedne strane parabole leže na cijelim brojevima, obično možete uštedjeti nešto posla jednostavnim odražavanjem zadane točke preko osi simetrije parabole kako biste pronašli odgovarajuću točku s druge strane parabole.

Video - Korištenjem ove usluge neki se podaci mogu podijeliti s YouTubeom

Savjeti

• Uočimo da je u f (x) = ax² + bx + c, ako je b ili c jednako nuli, ti brojevi nestaju. Na primjer, 12x² + 0x + 6 postaje 12x² + 6 jer je 0x 0.
• Zaokruži brojeve ili koristi razlomke kako ti kaže učitelj algebre. To će vam pomoći da pravilno iscrtate svoje kvadratne jednadžbe.